[RPG-MAKER.FR] Oniromancie: tout l'univers de RPG Maker en français

Si jamais il y en a qui se demanderaient un jour comment on peut approximer le sinus ou le cosinus d'un angle soi-même, voici une petite recette, suivie de quelques explications (je ne sais pas si ça correspond à ce que fait le gars du lien de Trotter, mais c'est probablement dans la même veine).

La recette :

0) Avant toute chose, commencez par garder en mémoire quelques valeurs de sin(a) et cos(a) pour différentes valeur de a bien réparties dans l'intervalle entre 0 et 2*pi, en utilisant une table trigonométrique ou une calculette. Faites gaffe à bien prendre les valeurs en radians, et non en degrés. (J'ai pas fait de tests, mais comme ça je dirais qu'une dizaine de valeurs c'est bien. Si c'est pas assez précis il faudra en rajouter).

Pour le calcul du sinus :

1) Lorsque vous voulez calculer le sinus d'un angle x exprimé en degrés, commencez par convertir votre angle en radians, en utilisant la formule :

Si votre angle est déjà en radians, tout va bien, vous pouvez skipper cette étape.

2) Si votre angle x est plus grand que 2*pi, retirez 2*pi à cet angle autant de fois que nécessaire, jusqu'à ce qu'il soit inférieur à 2*pi.
Si votre angle x est plus petit que 0, ajoutez 2*pi à cet angle autant de fois que nécessaire, jusqu'à ce qu'il soit supérieur à 0.

3) Parmi les valeurs gardées en mémoire à l'étape 0, trouvez la valeur de a qui est la plus proche de votre angle x.

4) Calculez une approximation de sin(x) en utilisant la formule suivante :

(Sachant que vous connaissez déjà sin(a) et cos(a), parce que vous les avez gardés en mémoire à l'étape 0. Le reste n'étant qu'additions/multiplications/divisons).

5) Convertissez le résultat en degrés si vous souhaitez l'avoir en degré, avec la formule :

Pour le calcul du cosinus :
Tout est identique, sauf qu'à l'étape 1, après avoir converti votre angle x en radians, remplacez-le par pi/2 - x.

Quelques explications :

Tout d'abord il faut savoir qu'en maths on parle jamais d'angle en degrés, mais en radian. C'est juste une autre échelle, où un tour complet du cercle fait 2*pi radians au lieu de faire 360 degrés. C'est plus naturel et ça simplifie les calculs, à cause des relations très proches qu'entretiennent pi et les fonctions trigonométriques, par le biais du cercle (alors que 360 est juste un nombre un peu arbitraire qui n'a aucun lien avec quoi que ce soit).
La relation entre un angle en radians et un angle en degrés peut par exemple s'exprimer par un rapport de proportionnalité, comme cela :

D'où on déduit facilement les deux formules :

Ensuite, puisque rajouter ou retirer 2*pi radians à un angle revient à rajouter ou à retirer un tour complet sur le cercle, au bout du compte on se retrouve au même endroit. D'où la formule :

(fonctionne aussi pour le cosinus, et toutes les autres fonctions trigonométriques)
Ceci nous permet de nous restreindre à l'intervalle [0,2*pi], et donc de ne pas avoir à retenir de valeurs de cos(a) et sin(a) en dehors de cet intervalle.

Puis vient la partie qui consiste à approximer le sinus d'un angle quand on connait le sinus d'un autre angle assez proche.
Il y a un théorème (le théorème de Taylor, que j'ai ici décidé d'utiliser à l'ordre 2) qui nous dit que pour toute fonction f que l'on peut dériver deux fois (ce qui est le cas de sinus et cosinus, qu'on peut dériver autant de fois qu'on le souhaite), on a la formule :

(pour n'importe quelles valeurs a et x).
Le terme tout à droite, noté o((x-a)²), x->a, est un terme qui devient négligeable face au reste quand x s'approche de a (c'est en fait ce que cette notation veut dire).

Dans notre cas (le sinus), cela donne :

D'où l'approximation suivante, lorsque x est assez proche de a (en réorganisant un peu les termes de l'équation précédente) :

Pour calculer le cosinus d'un angle, on aurait pu recommencer la même démarche avec le cosinus au lieu du sinus, mais il est plus rapide d'utiliser la formule suivante, qui nous permet de nous ramener au calcul d'un sinus :

A savoir :
- Cette méthode est utilisable pour approximer toute fonction assez régulière (n-fois dérivable, en gros, les fonctions dont le tracé est assez lisse) mais le sinus et le cosinus présentent l'avantage supplémentaire d'avoir des dérivées très sympa qui s'expriment facilement, donc c'est parfois plus chiant avec d'autres fonctions.
- J'aurais pu faire une approximation d'un autre ordre, j'ai juste estimé que dans la plupart des cas pratiques, une estimation d'ordre 2, avec peut-être une dizaine de valeurs de cos(a) et sin(a) mémorisées, devrait être assez précise.

D'ailleurs, ça intéresse quelqu'un si je fais quelques tutos sur les outils mathématiques qui peuvent être utiles à la création de jeux 2D ? (je parle de 2D parce que les outils mathématiques exclusifs à la 3D ça commence à piquer un peu quand on fait pas trop de maths).